La incapacidad de dividir un número por una fracción caracteriza a todos los números irracionales. Veremos algunos ejemplos de números irracionales a continuación para que puedas aprender más sobre ellos y cómo manejarlos. Hay muchos de estos números.
Los números irracionales
Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción. Otra definición es «cualquier número real que no sea racional».
Fuera de las matemáticas, la palabra «irracional» se usa para describir algo que es loco o ilógico, pero para un matemático, un número irracional es uno que no se puede expresar como una proporción usando solo números de conteo positivos y negativos (números enteros). Por ejemplo, puedes expresar el número racional 2.11 como 211/100, pero no puedes expresar el número irracional «raíz cuadrada de 2» como una fracción exacta de ningún tipo.
La raíz cuadrada de dos, 2 1/2, la raíz cúbica de tres, pi y la base del logaritmo natural e son ejemplos de números irracionales. Por ejemplo, los números 2 1/2 y 3 1/3 son números algebraicos. Los números trascendentales, como Pi y e, son una clase especial de irracionales. La expansión decimal de un número irracional siempre es no determinante (no tiene principio ni fin) y no repetitiva (los dígitos no tienen un patrón de repetición).
La existencia de un irracional y tal que x y z está garantizada si x y z son irracionales tales que x z. El conjunto de irracionales, como el conjunto Q de racionales, es «denso». Sin embargo, el conjunto de irracionales es «más denso» en teoría. El conjunto de irracionales, a diferencia de Q, no se puede contar. Es imposible enumerar explícitamente todos los decimales ambiguos y no periódicos, y mucho menos hacerlo. Suponga, por el bien de la prueba, que existe una lista implícita de todos los números decimales que no se repiten ni se repiten entre 0 y 1. Cada uno de esos números consta de un cero, un punto decimal y luego un número infinito de dígitos del conjunto 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Suponga que los elementos de la lista se identifican con los símbolos x1, x2, x3 y el punto. y ii se usa para indicar los dígitos de los números. El siguiente formato se puede utilizar para escribir la lista:.
x 1 = 0. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 …
x 2 = 0. a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 …
x 3 = 0. a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 …
x 4 = 0. a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 46 …
x 5 = 0. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 a 56 …
x 6 = 0. a 61 a 62 a 63 a 64 a 65 a 66 …
…
Aunque no estamos seguros de los valores precisos de los dígitos, es sencillo pensar en un número entre 0 y 1 que no se puede incluir en esta lista. Considera un número y escribe lo siguiente.
y = 0. b 11 b 22 b 33 b 44 b 55 b 66 …
tal que ningún a ii en la lista corresponde a un b ii en y. El número final, y, no es ni determinante ni repetitivo; varía de 0 a 1, pero no puede ser igual a ningún x i en la lista porque siempre hay al menos un dígito que no coincide.
El conjunto de números irracionales que no se pueden contar tiene amplias ramificaciones. La idea de que «no todos los infinitos son iguales» es posiblemente la más absurda. El conjunto de los irracionales es claramente mayor, aunque tanto el conjunto de los racionales como el conjunto de los irracionales son infinitos.
Para ayudarlo a comprender el concepto, le daré algunos ejemplos de números irracionales a continuación.
Características de los números irracionales.
Para comprender mejor las características peculiares de estos números, que han sido objeto de miles de años de estudio por parte de matemáticos de todo el mundo, primero repasaré algunas de sus propiedades antes de proporcionar algunos ejemplos.
* Hay al menos un número irracional por cada dos números racionales diferentes.
Un número irracional trascendental es el número de Gelfand.
* El inverso de un número irracional también es un número irracional.
ilustraciones de números ilógicos.
Los símbolos se utilizan con frecuencia para designar los números irracionales más conocidos y prácticos. Las fracciones no pueden representar estos números porque tienen un número infinito de lugares decimales. Por lo tanto, son buenos ejemplos de números irracionales por este motivo. Entre ellos se pueden encontrar los siguientes:.
* Pi (3.14159). Es la proporción del diámetro de un círculo a la longitud. Dada su importancia en la física y la geometría, podría decirse que es el número irracional más conocido y famoso. Todavía no hay un patrón a pesar de los intentos de calcular Pi con más de un cuatrillón de lugares decimales. Estos son los primeros tres dígitos: 3.1415926535897932384626433832795 (y más). ).
* El valor e (2.7182. Uno de los números reales cruciales en matemáticas. Leonard Euler, quien introdujo el número en una carta en 1731, pero que en realidad había comenzado a usarlo en 1727 o 1728 porque era un número universal, lleva el nombre de el número. Este número es 2.71828 desde el principio. El límite de (1 1 / n) n a medida que n se acerca al infinito es e. El interés compuesto es un tema de discusión, y esta frase está incluida. Además, se ha calculado e a numerosos lugares decimales sin ningún patrón perceptible. Los primeros dígitos son los siguientes: 2.7182818284590452353602874713527 (y más). ).
Proporción áurea (1:6180). ): Muy relacionado con la estética y la belleza. obtenible en la naturaleza. Estos son los primeros dígitos: 1.61803398874989484820. y mucho más. ).
*El número 2, representado por el símbolo 2, también es irracional. El primer carácter de este número se escribirá como 1.41421356237. Aunque nunca se repiten y nunca llegan a su fin, los números continúan para siempre. La raíz cuadrada de dos por la raíz cuadrada de dos es igual a dos porque una raíz cuadrada es exactamente lo contrario de elevar un número al cuadrado. Esto indica que . 1.41421356237. por 1.41421356237 ., multiplicado. es igual a dos, pero es difícil ser preciso al demostrar esto porque la raíz cuadrada de dos no llega a una conclusión. Como resultado, el resultado de la multiplicación será cercano a dos pero no exactamente dos. La raíz cuadrada de dos es un número irracional porque nunca se repite y nunca termina. Hay muchas otras raíces cuadradas y cúbicas irracionales; sin embargo, no todas las raíces cuadradas son iguales a: 3 1.7320508075688772935274463415059 (etc.). ) junto con 99 9.9498743710661995473447982100121 (etc. ).
Espero que estas ilustraciones de números irracionales te hayan ayudado a comprender qué son, por qué son importantes y para qué se pueden usar. Debe tener en cuenta que muchos de estos números irracionales se usan con frecuencia en matemáticas y que su uso tiene implicaciones significativas para el estudio y el avance futuros. Conocerlos tiene sentido debido a esto.
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