Un lugar geométrico , o locus , es un conjunto de puntos en el plano que verifican una propiedad. Es un concepto algo complicado de entender de buenas a primeras de modo que nada mejor que explicarlo con los mejores ejemplos de lugares geométricos.
Los Lugares geométricos
Los ejemplos de lugares geométricos son un grupo determinado de puntos que poseen una distancia determinada el uno del otro, lo cual conlleva a formar diversas figuras o formas geométricas en un sinfín de posiciones en un área, dichas figuras se catalogan en el plano y en el espacio, siendo la primera una serie ordenada de puntos en el eje X y Y tanto positivos como negativos, dentro del plano X y Y, se encuentran puntos o lugares geométricos de referencia, los cuales proporcionan la formación de figuras y facilitan las características de las mismas.
Por ejemplo, la bisectriz perpendicular de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos que son equidistantes de sus extremos.
Por dar una muestra de esos puntos, está el eje de simetría, el cual no es más que la recta formada por dos puntos equidistantes en el plano; otro sería la mediatriz, se define como un segmento de la recta formada en el eje simétrico; o la bisectriz, otro lugar geométrico que requiere un ángulo para poder ubicar sus puntos en el área de la figura en cuestión; estos tres son los lugares geométricos más comunes en el plano X y Y, dichas figuras se rigen bajo las propiedades de la geometría, rama de la matemática que se encarga de estudiar dichos lugares geométricos y las propiedades de todos los puntos que conforman las figuras.
Pues bien el plano X y Y representa la percepción de lugares geométricos en dos dimensiones, la realidad abarca tres dimensiones, dicha propiedad se denomina en el espacio, los ejemplos de lugares geométricos en dicho espacio tridimensional serían en X, Y y Z; dichos lugares geométricos al estar más definidos y más descritos en el plano mismo son sumamente complicados e intrincados, siendo mucho más diversos y variados que en el plano, de esta forma se ubican lugares geométricos más complejos como un polinomio o una variedad algebraica de matrices; este tipo de elementos geométricos se desarrollan con las propiedades de la geometría algebraica, por el grado de complejidad que presentan, dicha rama de la ciencia combina la geometría tradicional con los teoremas algebraicos para dar solución a los ejemplos de lugares geométricos tridimensionales.
Ejemplos de lugares geométricos
Mediatriz de un segmento
Si tenemos un segmento AB se denomina mediatriz de dicho segmento el que va a la recta r que es perpendicular a dicho segmento por su punto medio M.
De este modo podemos decir que, la mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y de B.
De este modo, podemos encontrarnos con la ecuación de tener que hallar la mediatriz del segmento que tiene como extremos los puntos A(1, 4) y B(5, 0).
Si hacemos caso a la primera definición, que hemos visto la mediatriz de un segmento será la recta perpendicular al segmento AB pasando por su punto medio tal y como observamos en la imagen a continuación:
Para resolver esto, tendemos que hacer un cálculo de la pendiente del segmento AB y la de su recta perpendicular:
La mediatriz será la recta que pase por el punto M(3, 2) y tendrá como pendiente m’ = 1. Ahora deberemos utilizar la ecuación punto pendiente:
También podemos hallar cuál es la mediatriz, mediante la definición del lugar geométrico, es decir, los puntos P(x, y) tales que d(A, P) = d(B, P):
Bisectriz de dos rectas
Por otro lado, si tenemos dos rectas r y s y tenemos como tarea calcular cuáles son las bisectrices de dichas rectas a las rectas b1 y b2 que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales, podemos decir que el resultado de esta dos rectas, r y s, serán el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de r y de s.
Aplicando la definición del lugar geométrico obtenemos la siguiente expresión:
Por ello, a partir de como tomemos el signo en dicha expresión, obtendremos una u otra bisectriz. Como ejemplo de este problema podemos tener el ejercicio de hallar cuáles son las las bisectrices de los ángulos que forman las rectas:
r: 4x – 3y + 9 = 0
s: 12x + 5y – 7 = 0
Tendremos entonces que hacer el cálculo siguiente:
Puntos notables y líneas rectas en un triángulo
Las bisectrices perpendiculares en un triángulo son las bisectrices perpendiculares de sus lados. Las tres bisectrices perpendiculares de un triángulo convergen en un punto llamado circuncentro , el centro del circunferencia circunscrita del triángulo.
Una bisectriz angular es el lugar geométrico de todos los puntos que son equidistantes a sus lados. Es una línea a través de un vértice que también corta su ángulo por la mitad.
Por ejemplo, si los lados de un triángulo son r: 3x + 4y = 0 y s: 8x – 6y – 3 = 0, entonces
Las tres bisectrices angulares de un triángulo convergen en un punto llamado incentro , el centro del incirculo del triángulo.
Una altitud es una línea a través de un vértice de un triángulo y perpendicular al lado opuesto. Las tres altitudes de un triángulo convergen en un punto llamado ortocentro.
Una mediana es una línea que conecta el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo convergen en un punto llamado centroide o baricentro geométrico o centro de masa .
Puedes verificar que las coordenadas del centro de masa de un triángulo cuyos vértices son A (a1, a2), B (b1, b2) y C (c1, c2) son:
Secciones cónicas
Las secciones cónicas son la intersección entre un cono y un plano que no pasa por el vértice del cono. Estos son círculo, elipse, parábola e hipérbola :
Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto fijo llamado centro . La distancia fija entre los puntos y el centro se llama radio .
Si C (c 1 , c 2 ) y el radio es r :
Ejemplo 1: si C (1,3) yr = 3, entonces la ecuación es:
(x – 1) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 → x 2 + y 2 – 2x – 6y + 1 = 0
Ejemplo 2: encuentra el centro y el radio de la circunferencia: x 2 + y 2 + 2x – 8y – 8 = 0
Utilizamos el método de «completar cuadrados», usando las identidades notables:
x 2 + 2x + 1 + y 2 – 8y + 16 – 25 = 0
(x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 5 2 → C (-1,4) r = 5
Artículo de interés: